Определение мультипликаторов на основе статистических данных. Взгляд с позиций статистики

В практике оценки есть много задач, когда на основе парных значений некоторых характеристик, относящихся к одним и тем же объектам, требуется определить среднее значение их отношения.

Примером такой задачи является определение мультипликатора валовых рентных платежей (валовый рентный мультипликатор - ВРМ) на основе выборочных данных по арендным ставкам и ценам продажи для одних и тех же объектов [1,2,3].

Другим примером является задача определения коэффициента капитализации методом экстракции. В этом случае исходными данными являются пары значений: чистый операционный доход и цена продажи, относящихся к одним и тем же или близким по своим ценообразующим параметрам объектам недвижимости [1,4,5,6,7,8].

Третий пример задач такого типа представляет собой задачу определения поправочных коэффициентов методом парных продаж. В этом случае пары значений составляются из цен продаж для двух объектов, различающихся по параметру сравнения и близких по остальным ценообразующим характеристикам [9,10].

Перечисленные задачи относятся к оценке недвижимости

С подобной проблемой оценщик сталкивается также при оценке бизнеса методом мультипликаторов в рамках сравнительного подхода. В этом случае на основе данных по подобным действующим предприятиям рассчитываются мультипликаторы по прибыли, по выручке, по активам и т. п. [11].

Перечень этих задач можно существенно расширить. Все они разные по своему смыслу, но всех их объединяет общая статистическая проблема, которая сводится к одной и той же статистической задаче. Не смотря на кажущуюся простоту, эта задача имеет ряд нюансов, которые приводят к тому, что среди не только практикующих оценщиков, но и специалистов, занимающихся разработкой методологии оценки, нет единого мнения.

Ниже на примере анализа задачи определения валового рентного мультипликатора рассматриваются различные варианты решения данной задачи, их возможная интерпретация и условия, при которых справедливо каждое из предложенных решений.

Содержательная постановка задачи оценки мультипликатора валовых платежей

Предположим, что в распоряжении оценщика имеются цены продаж для n объектов недвижимости:

C₁, C₂,… C_i,… C_n;

Также оценщик располагает статистическими данными по арендным ставкам:

A₁, A₂,… A_i, … A_n;

Если данные с одинаковым индексом i относятся к одним и тем же объектам недвижимости, или к различным, но близким по своим основным ценообразующим параметрам, то все эти данные, можно рассматривать, как выборку пар значений C_i, A_i:

C₁,A₁; C₂,A₂;… C_i,A_i; …C_nA_n (1)

На основе каждой пары можно рассчитать парциальные мультипликаторы:

C₁/A₁; C₂/A₂; C_i/A_i ; C_n/A_n (2)

Эти мультипликаторы образуют выборку размером n. Следует отметить, что использовать в процессе оценивания рыночной стоимости объекта недвижимости ВРМ имеет смысл только в том случае, если рассеивание значений парциальных мультипликаторов (2) будет достаточно маленьким. Заметим, что при этом рассеивание значений C_i и значений A_i в исходных выборках может быть достаточно большим. Это отражает тот факт, что факторы, характеризующие полезность объектов недвижимости (они же – ценообразующие факторы), примерно одинаково влияют на рыночную стоимость и рыночную арендную ставку.

Чаще всего, в качестве ВРМ используется среднеарифметическое значение парциальных мультипликаторов:

Однако такой подход не является единственным. Как показала дискуссия по статье [1], многие оценщики настаивают на возможности использования другой формулы для оценки ВРМ:

Ниже приводится анализ этих оценок с позиций, общепринятых подходов в математической статистике. Сразу замечу, что та или иная формула для оценки ВРМ получена в рамках определенных моделей. Поэтому вопрос о том, насколько справедлива формула, зависит от того, насколько используемая модель адекватна реальной ситуации, и, насколько соответствующая математическая задача корректно решена. Ниже предлагается рассмотреть решение этой задачи для разных моделей и затем выбрать решение, которое в большей степени отвечает выбранной модели.

 
Формализованная постановка задачи.

Будем считать, что цена продажи ( C_i ) связана с арендной ставкой ( A_i ) следующим соотношением:

Такая модель основана на предположении, что цена объекта недвижимости зависит от того, по какой арендной ставке объект сдается на рынке. Естественно, чем больший доход он может принести, тем больше он должен стоить. Однако это соотношение не такое «жесткое». Даже при одной арендной ставке объект может стоить на рынке по - разному. Цена продажи зависит еще и от некоторых других (обычно менее существенных) факторов. Например, от ожидаемого остаточного срока службы объекта или просто от того, насколько быстро продавец заинтересован продать объект. Эти моменты отражены в модели (5) введениемслучайной величины .

Таким образом, - случайная величина характеризует отклонение цены продажи от теоретической, которая определяется как арендная ставка, умноженная на некоторый мультипликатор M.

Соотношение (5), характеризующее связь между арендной ставкой и ценой продажи, проявляющаяся, как некоторая закономерность лишь в среднем по совокупности наблюдений, называют уравнением простой регрессии.

Следует отметить, что регрессионное уравнение, заданное (5), не позволяет достаточно полно описать связь рыночных цен объектов недвижимости с соответствующими арендными ставками, если не указать на статистические свойства случайной составляющей .

Прежде всего, отметим, что математическое ожидание этой случайной величины равно нулю:

В отношении дисперсии возможны различные допущения. Рассмотрим их подробнее, поскольку в зависимости от принятых допущений регрессионный анализ приводит к различным расчетным формулам для мультипликатора.

Дисперсия постоянная. Это значит, что цены имеют примерно одинаковый разброс по абсолютному значению относительно среднего при любых значениях независимой переменой (арендной ставки) и соответственно. Такое допущение кажется весьма сомнительным.

Дисперсия пропорциональна квадрату арендной ставки. Это значит, что цены имеют примерно одинаковый разброс по относительной величине относительно среднего при различных значениях независимой переменой (арендной ставки) и соответственно, т. е. стандартное отклонение цен продажи пропорционально рыночной стоимости или рыночной арендной ставке. Такое допущение кажется более соответствующим истинному положению дел.

Дисперсия прямо пропорциональна величине арендной ставки и соответственно рыночной стоимости. Это промежуточный вариант между двумя выше рассмотренными случаями. Стандартное отклонение цен продажи пропорционально квадратному корню рыночной стоимости или рыночной арендной ставке.

Выбор той или иной модели случайной величины зависит от природы случайной величины. Кроме того, он должен быть подтвержден анализом статистических данных.

Прежде всего, отметим, что по ограниченной выборке, представляющей статистические данные по ставкам аренды и ценам продаж, нельзя точно определить значение параметра А. Вместо этого может быть получено его приближенное значение – оценка этого параметра. В соответствии с общепринятой статистической методологией такая оценка должна обладать рядом свойств (состоятельность, несмещенность, эффективность). Не будем подробно останавливаться на обсуждении этих свойств. Отметим только, что несмещенность оценки означает отсутствие систематической погрешности.

Что касается случайной погрешности, то она характеризуется эффективностью оценки. Можно сказать, что оценка имеет наименьшую погрешность (неопределенность) если она эффективна. Отсюда следует, что предпочтительней будет та расчетная формула, которая, основываясь на тех же исходных данных, обеспечивает несмещенную и эффективную оценку. Как известно из статистической теории, этими свойствами обладают оценки параметра, полученные с помощью обобщенного метода наименьших квадратов (МНК). Другими словами, предпочтение следует отдать той оценке, которая минимизирует средневзвешенную сумму квадратов невязок. При этом значения весов принимаются равными обратной величине дисперсии помехи .

Определение мультипликатора М в зависимости от принятого допущения.

1) Для первого случая мультипликатор M, являющийся коэффициентом регрессии, определяется в соответствии с методом наименьшим квадратов (МНК), путем минимизации суммы квадратов остатков:

Легко увидеть, что коэффициент М, минимизирующий эту сумму, равен:

Эта формула может быть записана в виде:

или :

где

Таким образом, мультипликатор М, в соответствии с формулой, вытекающей из простой регрессии, должен рассчитываться, как средневзвешенное значений C i / A i с весами, определяемыми формулой (10).

2) Метод наименьших квадратов при допущениях относительно дисперсии, соответствующих второму случаю, сводится к минимизации средневзвешенной суммы квадратов:

Значение мультипликатора М, минимизирующего сумму квадратов остатков (11), определяется формулой:

Таким образом, если есть основания считать, что разброс цен продаж, измеренный в относительных единицах, сохраняется постоянным для объектов с различными рыночными стоимостями, то для определения среднего мультипликатора более предпочтительной является формула (12), как обеспечивающая оценку с наименьшей погрешностью.

3) Наконец, в третьем случае оценка наименьших квадратов определяется минимизацией квадратичной формы:

Простое решение приводит к формуле:

Эта формула может быть также представлена как средневзвешенное значение парциальных мультипликаторов:

Формула может быть записана в стандартном виде:

где

Следует заметить, что формула (14) приводит к оценке, имеющей наименьшую погрешность при указанных выше условиях.

Результирующие формулы приведем в виде таблицы.

	Допущения, которые приняты при выводе формул	Расчетная формула
1	Дисперсия постоянная. Цены имеют примерно одинаковый разброс по абсолютному значению относительно среднего при любых значениях независимой переменой (арендной ставки) и соответственно.
2	Дисперсия пропорциональна квадрату арендной ставки. Цены имеют примерно одинаковый разброс по относительной величине, т. е. стандартное отклонение цен продажи пропорционально рыночной стоимости или рыночной арендной ставке.
3	Дисперсия прямо пропорциональна величине арендной ставки и соответственно рыночной стоимости. Это - промежуточный вариант между двумя выше рассмотренными случаями. Стандартное отклонение цен продажи пропорционально корню квадратному от рыночной стоимости или рыночной арендной ставке.

В статье приведены расчетные формулы для оценки мультипликаторов, которые встречаются в различных задачах в процессе оценки, и допущения, которые следует учитывать при выборе той или иной формулы. Конкретный выбор расчетной формулы остается за оценщиком.

Замечание относительно метода экстракции при определении коэффициента капитализации.

Определение коэффициента капитализации на основании «исторических данных» с помощью формулы (14) имеет еще одно сильное возражение. который оказывается зачастую незамеченным в оценочной практике. Поскольку определение коэффициента капитализации не является самоцелью, а представляет собой звено в процессе оценки рыночной стоимости в рамках доходного подхода, следует обсуждать полезность каждой из формул (12) и (14) с точки зрения их влияния на конечный результат.

В связи с этим хотелось бы обратить внимание, что, если экстракция осуществляется на той же выборке, что и оценка рыночной стоимости в рамках сравнительного подхода, то определенный с помощью формулы (14) коэффициент капитализации в принципе не содержит новой информации. Поэтому метод прямой капитализации приведет в этом случае к той же оценке, что и метод сравнения продаж. И это является еще одним свидетельством того, что к формуле (14) следует подойти с особой осторожностью. Это отмечается в [6], однако до сих пор приходится сталкиваться с отчетами, в которых в рамках сравнительного подхода и в рамках доходного (с коэффициентом капитализации, взятым из тех же данных) получена одна и та же оценка, с последующим их согласованием. Иногда это камуфлируется использованием различных поправок. В результате результатов подходов могут немного различаться, но суть не меняется.

Выводы

1. Предположение о том, что разброс цен сохраняется одинаковым по относительной величине для объектов недвижимости, существенно различающихся по величине арендной ставки или цене продажи, выглядит наиболее естественным. Это подтверждается также анализом фактических данных. Поэтому формула (12) при расчете мультипликатора в ситуации, когда имеются необходимые данные, с нашей точки зрения, более предпочтительна.

2. В ситуации, когда отсутствуют данные, относящиеся к одним и тем же объектам недвижимости, и сформировать пары значений естественным путем не представляется возможным, можно воспользоваться искусственными приемами формирования таких пар. В частности, можно попытаться подобрать пары из сходных объектов, если для одного из них существует цена продажи (или цена предложений), а для другого арендная ставка. Второй прием, опирающийся на формальные построения, состоит в предварительном отдельном ранжировании выборочных данных по ценам и ранжировании по арендным ставкам с последующим формированием пар из элементов вариационного ряда с одинаковыми рангами. Этот метод, названный методом вариационного ряда, подробно изложен в [1].

3. В ситуации, когда по каким-либо причинам Оценщик отказывается от указанных выше методов, можно использовать формулу (14). Преимуществом этой формулы является использование минимальной информации по объектам недвижимости. При этом, если все объекты в каждой из выборок близки между собой по всем ценообразующим параметрам, то различие в результатах расчета по обеим формулам (12) и (14) будут различаться несущественно. Однако следует иметь в виду, что при прямом использовании рассчитанного таким образом коэффициента капитализации такой подход не дает новой информации по сравнению со сравнительным подходом, если использовались те же данные.

 25 октября 2010 года

Литература

1. Лейфер Л. А. Определение валового рентного мультипликатора на основе «исторических» данных // Лабрейт.ру (Сетевой ресурс), 09.10.2009. - http://www.labrate.ru/leifer/determination-of-the-gross-rental-multiplier-2009.htm
2. Фоменко А. Н. Метод расчета валового рентного множителя для объектов недвижимости // Империя оценки (Сетевой ресурс), http://www.imperia-a.ru/consulting/article/114 // АНФ-ОЦЕНКА (Сетевой ресурс),http://anf-ocenka.narod.ru/26.doc
3. Фоменко А. Н. Особенности использования ВРМ при определении коэффициента капитализации методом рыночной экстракции // АНФ-ОЦЕНКА (Сетевой ресурс), http://anf-ocenka.narod.ru/27.doc
4. Грибовский С. В. Жуковский В.В. Табала Д. Н. Ставка дисконтирования – не игра воображения, а строгая наука // Вопросы оценки, 1997, №3.
5. Грибовский С.В. Опыт определения ставки дисконтирования для объектов недвижимости методом экстракции // Новости оценки, № 7. -- СПб: Академия Недвижимости, 2005.
6. Озеров Е. С. Экономический анализ и оценка недвижимости. СПб.: Изд-во «МКС», 2007
7. Эконометрика: Учебник для вузов / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Т.В. Костеева и др.; под ред. чл.-корр. РАН И.И. Елисеевой; МО РФ. - 2-е изд., перераб. и доп.. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 576 с.
8. Яскевич Е. Е. Определение коэффициентов капитализации для предприятий методом рыночной экстракции и вариант их прогнозирования // Научно-практический центр профессиональных оценщиков (Сетевой ресурс), http://www.cpcpa.ru/Publications/003/
9. Лейфер Л.А., Кашникова З. А. Информационное обеспечение российской оценки. Стратегия выхода из тупика // Лабрейт.ру (Сетевой ресурс), 2006. - http://www.labrate.ru/leifer/lev_leifer_article-25_supply_with_information.htm
10. Лейфер Л.А., Кашникова З.А., Кузьмин А.В. Мультипликаторы для оценки земельных участков / Материалы конгресса "10 лет оценочной деятельности в России". М.: 2003.
11. Лейфер Л.А., Дубовкин А.В. Мультипликаторы для оценки акций на основе балансовой стоимости чистых активов // Корпоративный менеджмент (Сетевой ресурс), 16.08.2002. - http://www.cfin.ru/finanalysis/value/multi_bal.shtml